Физически информированное глубокое обучение

Описание

Физически информированные нейронные сети (PINNs) представляют собой новаторский подход к решению задач обучения с учителем, особенно тех, которые управляются нелинейными дифференциальными уравнениями в частных производных (ДУЧП). Эта структура интегрирует физические законы непосредственно в процесс обучения нейронной сети, обеспечивая решения, основанные на данных, и открытие лежащих в основе ДУЧП.

PINNs работают путем аппроксимации решения ДУЧП с использованием глубокой нейронной сети. Ключевая инновация заключается в определении функции потерь, которая включает не только расхождение между предсказаниями сети и наблюдаемыми данными (если они доступны), но и член, который штрафует нарушение самого ДУЧП. Это достигается с помощью автоматического дифференцирования, где выход сети дифференцируется по отношению к ее входам (например, времени и пространственным координатам) для вычисления членов ДУЧП. Минимизируя эти комбинированные потери, сеть обучается удовлетворять как данным, так и физическим ограничениям.

Эта структура поддерживает два основных класса задач: решение ДУЧП на основе данных и открытие ДУЧП на основе данных. Для решения ДУЧП PINNs могут выводить решения даже при наличии разреженных данных, используя структуру ДУЧП. Для открытия они могут идентифицировать параметры неизвестных ДУЧП на основе наблюдаемых данных. Представлены два различных алгоритмических подхода: модели непрерывного времени, которые используют коллокационные точки во всей пространственно-временной области для обеспечения соблюдения ограничений ДУЧП, и модели дискретного времени, которые используют классические схемы шагов по времени, такие как методы Рунге-Кутты, для построения более структурированных представлений нейронных сетей, потенциально уменьшая потребность в обширных коллокационных точках в более высоких размерностях.

Приведенные примеры включают решение и определение параметров для уравнения Бюргерса, уравнения Шрёдингера, уравнений Навье-Стокса, уравнения Аллена-Канна и уравнения Кортевега-де Фриза (КдФ). Эти примеры демонстрируют универсальность PINNs в обработке различных типов нелинейностей, граничных условий (включая периодические и комплекснозначные решения) и производных более высокого порядка. Способность восстанавливать неизвестные параметры ДУЧП из ограниченных данных является значительным достижением для научного открытия и инженерных приложений.

Целевая аудитория PINNs включает исследователей, инженеров и специалистов по данным, работающих с физическими системами, гидродинамикой, материаловедением и любыми областями, где дифференциальные уравнения играют решающую роль. Ценностное предложение заключается в его способности предоставлять точные решения с меньшим количеством данных, открывать управляющие уравнения и создавать дифференцируемые суррогатные модели, которые могут быть далее проанализированы и оптимизированы.

Главное о Физически информированное глубокое обучение

• Физически информированные нейронные сети для решения ДУЧП

• Открытие дифференциальных уравнений в частных производных на основе данных

• Модели непрерывного времени для обеспечения соблюдения ДУЧП

• Модели дискретного времени с использованием схем Рунге-Кутты

• Автоматическое дифференцирование для обеспечения соблюдения ограничений ДУЧП

• Обрабатывает нелинейные дифференциальные уравнения в частных производных

• Поддерживает различные граничные условия (Дирихле, периодические)

• Может выводить неизвестные параметры ДУЧП

• Дифференцируемые суррогатные модели

• Применимо к гидродинамике, волновым явлениям и реакционно-диффузионным системам

• Код и наборы данных общедоступны

• Обучено на GPU для эффективности

Начало работы с Физически информированное глубокое обучение

1. 1

   Определить ДУЧП: Сформулировать дифференциальное уравнение в частных производных, управляющее системой.

2. 2

   Аппроксимировать решение: Представить неизвестное решение с помощью глубокой нейронной сети.

3. 3

   Построить функцию потерь: Объединить потери соответствия данным с потерями остатка ДУЧП.

4. 4

   Обучить сеть: Минимизировать функцию потерь с использованием алгоритмов оптимизации (например, обратного распространения ошибки).

5. 5

   Проверить результаты: Сравнить предсказания сети с известными решениями или экспериментальными данными.

6. 6

   Применить для открытия: Использовать наблюдаемые данные для вывода неизвестных параметров ДУЧП.

Варианты использования Физически информированное глубокое обучение

• Решение ДУЧП
• Открытие ДУЧП
• Моделирование гидродинамики
• Анализ распространения волн
• Моделирование материаловедения
• Моделирование квантовой механики
• Дифференцируемые суррогаты
• Обратные задачи

Часто задаваемые вопросы Физически информированное глубокое обучение

• Что такое физически информированные нейронные сети (PINNs)?

  PINNs — это нейронные сети, обученные решать задачи обучения с учителем, соблюдая при этом физические законы, описываемые дифференциальными уравнениями в частных производных (ДУЧП).

• Как PINNs обеспечивают соблюдение физических законов?

  PINNs обеспечивают соблюдение физических законов, включая в свою функцию потерь член, который штрафует нарушение управляющего ДУЧП, вычисляемый с помощью автоматического дифференцирования.

• Какие типы задач могут решать PINNs?

  PINNs могут решать задачи, связанные с решениями ДУЧП на основе данных и открытием ДУЧП на основе данных, включая прямые и обратные задачи.

• Каково преимущество использования PINNs по сравнению с традиционными численными методами?

  PINNs могут предоставлять дифференцируемые суррогатные модели, более эффективно обрабатывать разреженные данные и способны открывать неизвестные физические законы и параметры.

• Могут ли PINNs обрабатывать нелинейные ДУЧП?

  Да, PINNs разработаны для обработки общих нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных.

• Что такое модели непрерывного и дискретного времени в PINNs?

  Модели непрерывного времени используют коллокационные точки по всей области для обеспечения соблюдения ДУЧП, в то время как модели дискретного времени используют схемы шагов по времени для структурированных представлений.

• Доступны ли код и данные для PINNs в открытом доступе?

  Да, в тексте упоминается, что весь код и наборы данных, использованные в исследовании, общедоступны на GitHub.

• Какие типы ДУЧП были продемонстрированы с помощью PINNs?

  Продемонстрированные ДУЧП включают уравнение Бюргерса, уравнение Шрёдингера, уравнения Навье-Стокса, уравнение Аллена-Канна и уравнение Кортевега-де Фриза (КдФ).

• Могут ли PINNs использоваться для определения неизвестных параметров в ДУЧП?

  Да, ключевой возможностью PINNs является открытие на основе данных параметров в нелинейных дифференциальных уравнениях в частных производных.

• Какова роль автоматического дифференцирования в PINNs?

  Автоматическое дифференцирование имеет решающее значение для вычисления производных выходных данных нейронной сети по отношению к ее входам, что позволяет вычислять остаток ДУЧП.

• Каковы преимущества использования PINNs для научного открытия?

  PINNs способствуют открытию управляющих уравнений и их параметров из наблюдаемых данных, сокращая разрыв между данными и физическим пониманием.

• Насколько эффективны PINNs с точки зрения времени обучения?

  В тексте приведен пример, когда обучение модели заняло примерно 60 секунд на одной видеокарте NVIDIA Titan X GPU для уравнения Бюргерса.